ApolloniusSun

如下是为2024.12.1的数论讨论班主讲而准备的讲稿。本次讲稿主要介绍Eichler-Shimura理论，包括上同调观点的模形式，Eichler-Shimura同构以及Galois表示相关。

注记：Eichler-Shimura同构的相交上同调观点

个人认为讲稿中最有趣的部分在于Eichler-Shimura同构与偏屈层、相交上同调和Hodge结构的互动，很不幸地只有这一部分由于时间原因在讨论班上未能讲出，在此简述如下。

对于携带有划分$\mathcal S$的拓扑空间$X$，我们通常想象$X$为伪流形（粗略地说，由不同维数的流形粘合而成）此时其上携带者典范的划分$\mathcal S$。我们从现在固定这一背景设定。

在这一设定下，我们定义了$(X,\mathcal S)$上偏屈层和中间扩张(intermediate extension)的概念，前者是一类同调行为随着底空间维数变动的层，而后者描述了一个小空间$U\subseteq X,U\in\mathcal S$上的偏屈层$\mathcal L$如何尊重偏屈结构地推前，成为大空间上的层$j_{!*}\mathcal L$。

我们注意到偏屈层展现出的最重要的性质就是其同调行为尊重底空间的维数，但是观察Poincare对偶我们发现这恰好是一般空间（伪流形，复代数簇，...）上使得Poincare对偶成立所需要的关键性质。准确地说，使用六函子观点我们知道Poincare对偶无非说的是：

$\omega_X\coloneq p^!\mathbb Z,\quad p:X\to *$

满足$\omega_X$为定向层$\mathrm{O}$的平移$\mathrm{O}[n]$，特别地，当$X$可定向时$\omega_X=\Z[n]$。

更一般地，局部系的Poincare对偶无非说的是$p^!(-)=p^*(-)\otimes \omega_X$。因此上述讨论能够让人相信通过偏屈层我们能产出一个满足Poincare对偶的同调理论：这就是所谓相交上同调。

相交上同调. 给定复代数簇$X$以及光滑稠密开集$U,j:U\to X$，定义相交上同调为

$\mathrm{IH}^{n+i}(X,\mathcal L)\coloneq \mathbb H^i(X,j_{!*}\mathcal L[n])$

这里$\mathcal L$是$U$上局部系（自然是偏屈层：$U$光滑）。

偏屈层理论的精妙之处在于其还和Hodge结构有着紧密联系。粗略地说，任何“来自Hodge结构”的局部系产出的相交上同调都携带着Hodge结构：这是Saito等人的重要工作。我们简要解释一下：“来自Hodge结构”的正式名称是：Hodge结构变异(Variation of Hodge structure)。一个Hodge结构变异是指这个局部系$\mathcal V$（的函数层$\mathcal V\otimes_k \mathcal O_S$）上携带着一个下降滤过，满足其在每个纤维上都诱导了Hodge结构并满足所谓的Griffiths横截性：其上的平坦联络尊重滤过。

毫无疑问地，这样的结构在形变理论中随处可见：例如给定模空间$\mathcal M$，其对应的$p:\mathcal E\to \mathcal M$满足其在$m\in\mathcal M$处的纤维对应着$m\in\mathcal M$作为模空间中的点代表的结构，那么纤维的上同调上自然携带着Hodge结构（例如Kahler流形的形变），这些不同的Hodge结构跟随着纤维的形变一同形变，并粘合成为一模空间上的局部系。此时平坦联络为所谓的Gauss-Manin联络，这就自然给出了一个Hodge结构变异。

在Eichler-Shimura理论中我们考虑的正是椭圆曲线的模空间以及其上的万有（广义椭圆曲线），这恰好就是我们在上一段落中讨论的情形。更进一步，Eichler-Shimura同构在这个观点下恰好就是开模曲线$Y$上的局部系$R^1\pi_*\mathcal C=\pi_*\mathcal H^1_{dR}$诱导的相交上同调上的Hodge分解。

讲稿文件

Eichler-Shimura Theory